Тогда только замена катушки. Паять это все равно бессмысленно. Потому что, если действительно сдыхает ключ, то он умер или из-за перегрева, или просто выработался, время пришло. Заменить его теоретически можно, но у нас нет информации, какого типа, ВАХ и рассеивающей мощности стоит ключ на катушках. Если перепаять неудачно, можно спалить канал зажигания в мозгу.
Возможно физическое повреждение большой обмотки, которое приводит к частичному коротышу. В результате этого напряжения в условиях сжатия не хватает на искру.
Кроме того, возможен пробой прямо по корпусу катушки, еще до наконечника. Вообще, хочется фотки с разных ракурсов этой катушки.